matematika

1. Peluang, limit, dan vektor
2. Diferensial

APROKSIMASI

Pelajaran Aproksimasi di SMK, dapat dikatakan merupakan pelajaran yang cukup penting. Apalagi di SMK yang banyak melakukan kegiatan pengukuran. Namun masih banyak guru Matematika SMK yang belum cukup paham pada kompetensi ini. Di Semarang, para guru Matematika SMK t erutama yang tergabung dalam Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP) Matematika telah sejak tahun 1997 mencoba mengembangkan kompetensi ini dalam bentuk modul pembelajaran. Hal ini dipandang cukup berarti mengingat dapat menjadi pedoman bagi para guru matematika yang notabene tidak pernah dipelajarai di bangku kuliah. Materi tentang Aproksimasi, dengan kemasan ringkas akan saya sajikan berikut ini. Kepada para pembeca silahkan mencermati, dan beri tanggapan apabila terdapat kekurangpahaman.

APROKSIMASI

A. PENGERTIAN

Aproksimasi (Approxtimation) artinya pendekatan.

Yang dimaksud pendekatan disini adalah kurgan ketelitian yang layak diterima pada pengukuran obyek-obyek.

Contoh :

1. Dalam hal keuangan.

Pembayaran biasanya dibulatkan ke dua puluh lima rupiahan terdekat.

(Dihitung dalam kelipatan dua puluh lima rupiahan).

2. Dalam bidang kependudukan.

a. Jumlah penduduk suatu daerah, dibulatkan ke ratusan ribu jiwa terdekat (Dihitung dalam kelipatan seratus ribu).

b. Jumlah penduduk suatu Negara, dibulatkan jutaan jiwa terdekat (Dihitung dalam kelipatan satu juta).

3. Dalam bidang permasinan

Pengukuran berat, dibultkn hingga milligram terdekat (Dihitung dalam kelipatan satu milligram).

B. PEMBULATAN DALAM PENGUKURAN

Ada 3 macam pembulatan dalam pengukuran, yaitu:

1. Pembulatan menurut banyaknya tempat desimal

Contoh :

42,4504497 cm = 42,45045 (jika dibulatkan ke 6 tempat desimal)

= 42,45045 (jika di bulatkan ke 5 tempat desimal)

= 42,4504 (jika dibulatkan ke 4 tempat decimal)

=42,5 (jika dibulatkan ke 1 tempat decimal)

Catatan : Secara umum, jika angka berikutnya lebih atau sama dengan lima, maka angka di depannya di tambah dengan 1 dan jika angk berikutnya kurang dari 5 angka di depannya tetap.

2. Pembulatan ke satuan ukuran terdekat

Untuk memahami pembulatan ini, harus dipahami dulu satuan ukuran/pembanding terkecil yang dipakai oleh sipengukur, mskipun kita hanya melihat catatan hasil-hasil pengukurannya saja.

Perhatikan contoh berikut:

NO	Hasil Pengukuran	Satuan ukuran terkecil yang digunakan
1.	42 cm	1 cm
2.	43,4 m	0,1 m atau 1 dm
3.	51,60 m	0,01 m atau 1 cm
4.	214,004 kg	0,001 kg atau 1 gram
5.	56,01	0,1 l atau 1 dl
6.	64,5000 ton	0,0001 ton atau 1 hg
7.	0,4 kg	0,1 kg atau 1 hg
8.	0,04 kg	0,01 kg atau 1 dag
9.	40 g	10 g atau 1 dag
10.	500 m	100 m atau 1 hm

Dari tabel diatas maka untuk

1. 3746,974450 kg = 3746,9745 kg (jika dibulatkan ke 1 dg atau 0,0001 kg)

2. 3746,974450 kg = 3746,974 kg ( jika dibulatkan ke 1 g atau 0,001 kg)

3. 3746,974450 kg = 3746,97 kg (jika dibulatkan ke 1 dag atau 0,01 kg)

4. 3746,974450 kg = 3747,0 kg (jika dibulatkan ke 1 hg atau 0,1 kg)

5. 3746,974450 kg = 3750 kg (jika dibulatkan ke 10 kg)

6. 3746,974450 kg = 3700 kg ( jika di bulatkan ke 100 kg atau 1 kwintal)

7. .3746,974450 kg = 4000 kg ( jika di bulatkan ke 1000 kg atau 1 ton)

3. Pembulatan ke banyaknya angka signifikan

Signifikan berasal dari bahasa inggris “Significant” yang berarti “ bermakna”. Perhatikan contoh-contoh berikut:

1. 5476

a. di bulatkan ke 10an terdekat = 5740 (3 angka signifikan)

b. .di bulatkan ke 100an terdekat = 5500 (2 angka signifikan)

c. dibulatkan ke 1000an terdekat = 5000 (1 angka signifikan)

2. . 6504

a. di bulatkan ke puluhan terdekat = 6500 ( 3 angka signifikan)

b. di bulatkan ke ratusan terdekat = 6500 (2 angka signifikan)

c. di bulatkan ke ribuan terdekat = 5000 ( 1 angka signifikan)

3. 296,701

a. dibulatkan ke perseratusan terdekat = 296,70 ( 5 angka signifikan)

b. dibulatkan ke persepuluhan terdekat = 297 (3 angka signifikan)

c. di bulatkan ke puluhan terdekat = 300 ( 2 angka signifikan)

d. di bulatkan ke ratusan terdekat = 300 ( 1 angka signifikan)

4. 0,007446 km

a. di bulatkan ke peseratusribuan km atau ke 1 cm terdekat = 0,00745 km = 745 cm (3 angka signifikan)

b. di bulatkan ke ke persepuluh ribuan km atau ke 1 dm terdekat = 0,0074 km = 74 dm (2 angka signifikan)

c. di bulatkan ke perseribuan km atau ke 1 m terdekat= 0,007 km = 7 m ( 1 angka signifikan)

d. di bulatkan ke persepuluh km atau 1 dam terdekat = 0,0 km = 0 dam ( 0 angka signifikan atai tidak ada angka yang signifikan)

Perhatikan contoh 2) a dan b diatas

Tampak disitu bahwa pembulatan ke puluhan terdekat, sama hasilnya dengan pembulatan ke ratusan terdekat, demikian pula pada contoh 3) d dan e. Lalu bagaimanakah seseorang dapat membedakan bahwa pembulatan yang dipakai sebenarnya berbeda. Untuk membedakannya, dilakukan dengan tanda “strip” atau “bar” diatas angka yang menunjukkan tempat satuan yang dipilih pengukur.

296 dibulatkan ke puluhan terdekat = 300 ( 2 angka signifikan)

296 dibulatkan ke ratusan terdekat = 300 ( 1 angka signifikan)

Dari ke empat contoh diatas, dapatlah dimengerti bahwa :

1. Semua angka bukan nol adalah signifikan (34,25 m mempunyai 4 angka signifikan)
2. Semua angka nol diantara angka-angka bukan nol adalah signifikan (40,036 kg mempunyai 5 angka signifikan)
3. Angka nol didepan bukan nol,tidak signifikan (0,007446 km mempunyai 4 angka signifikan)
4. Angka nol di kanan bukan angka nol pada bilangan desimal adalah Signifikan
5. (296,70 m mempunyai 5 angka signifikan) Angka nol di kanan bukan nol pada bilangan bulat adalah tidak signifikan, kecuali ada tanda khusus.(300 m mempunyai 1 angka signifikan, tetapi 300 m mempunyai 2 angka signifikan)

C. SALAH MUTLAK, SALAH RELATIF DAN PROSENTASE KESALAHAN

1. SALAH MUTLAK (SM)

Adalah salah terbesar yang dapat diterima dalm pengukuran

SM = 1/2 × satuan kurgan terkecilnya.

= 1/2 × SUK

Misal bila kita mengukur panjang pensil hasilnya 15 cm.

Kita menulis 15 cm itu sebenarnya karena panjang pensil tersebut lebih dekat ke 15 cm dari pada ke 14 cm atau 16 cm, yaitu kira-kira terletak antara 14,5 cm dan 15,5 cm, atau kesalahan terbesarnya 0,5 cm.

Jadi 15 cm →satuan kurgan terkecilnya (SUK) = 1 cm

SM = ½ ×1 cm = 0,5 cm

Batas atas pengukuran = (15 + 0,5) cm = 15,5 cm

Batas bawah pengukuran = (15 – 0,5) cm = 14,5 cm

2. SALAH RELATIF (SR)

Adalah salah yang dilihat terhadap hasil pengukurannya.

SR =

Untuk 15 cm → PR = × 100 % = 33 %

D. TOLERANSI

Toleransi pada suatu hasil pengukuran didefinisikan sebagai selisih antara batas atas batas bawah pengukuran yang masih dapat diterima.

Contoh ;

1. Batas atas yang dapat diterima dari suatu pengukuran adalah 10,3 cm dan batas bawahnya 9,7 cm. Tentukanlah toleransi dari pengukuran tesebut.

Jawab :

Toleransi = Batas atas – Batas bawah

= 10,3 cm – 9,7 cm

= 0,6 cm

2. Pada sebuah bengkel, para siswa di beri tugas membuat baud-baud dengan panjang 3 cm, dan toleransi 0,4 cm. Tentukanlah batas atas dan batas bawah panjang baud yang masih dapat diterima.

Jawab :

Batas atas (BA) = 3 cm + × toleransi

= 3 cm + × 0,4 cm

= 3 cm + 0,2 cm

= 3,2 cm

Batas bawah (BB) = 3 cm – × toleransi

= 3 cm – × 0,4

= 3 cm – 0,2 cm

= 2,8 cm

E. BATAS-BATAS JUMLAH, SELISIH DAN PERKALIAN HASIL-HASIL PENGUKURAN

Dua batang tembaga, masing-masing berukuran 10,2 cm dan 8,4 cm. Tentukanlah batas-batas dari jumlah, selisih dan perkalian kedua hasil pengukuran tembaga tersebut.

Jawab :

Untuk mengetahui batas-batas jumlah, selisih dan perkalian dua hasil pengukuran tersebut, kita harus mengetahui dulu batas atas dan batas bawah hasil pengukuran tersebut.

P₁ = 10,2 cm, satuan kurgan terkecilnya = 0,1 cm atau 1 mm.

SM = × 0,1 cm

= 0,05 cm

BA = 10,2 cm + 0,05 cm = 10,25 cm

BB = 10,2 cm - 0,05 cm = 10,15 cm

P₂ = 8,4 cm, satuan kurgan terkecilnya = 0,1 cm atau 1 mm.

SM = × 0,1 cm

= 0,05 cm

BA = 8,4 cm + 0,05 cm = 8,45 cm

BB = 8,4 cm – 0,05 cm = 8,35 cm

a. Batas-batas jumlah.

BA Jumlah (Jumlah Maximum) = BAP₁ + BAP₂

= 10,25 cn+8,45 cm

= 18,70 cm

BB Jumlah (Jumlah minimum) = BBP₁ + BBP₂

= 10,25 cm – 8,35 cm

= 18,50 cm

b. Batas-Batas Selisih.

BA Selisih (selisih maximum) = BA P₁ – BB P₂

= 10,25 cm -8,35 cm

= 1,90 cm.

BB selisih ( selisih maximum) = BB P₁ – BA P₂

= 10,15 cm – 8,45 cm

= 1,70 cm

c. Batas-batas perkalian

BA perkalian (hasil kali maximum) = BA P₁ × BA P₂

= 10,25 cm × 8,45 cm

= 86,6125 cm²

BB perkalian (hasil kali maximum) = BB P₁ × BB P₂

= 10,15 cm × 8,35 cm

= 84,7525 cm²

F. HUKUM-HUKUM APROKSIMASI

a. Hukum Penjumlahan dan pengurangan

i. Semua pengukuran dinyatakan dalam satuan yang sama.

ii. Bulatkan masing-masing pengfukuran ke dalam satuan ukuran yangderajat ketelitiannya rendah.

iii. Lakukan penjumlahan atau pengurangan

Contoh :

1. Jumlahkan hasil-hasil pengukuran berikut

L1 = 1250

L2 = 1562

L3 = 2,963

L4 = 9,71

Jawab :

1250 cm = 12,5 m (SUK = 0,1 m)

1562 mm = 1,562 m (SUK = 0,001m)

2,963 m = 2,963 m ( SUK = 0,001 m)

9,71 m = 9,71 m (SUK = 0,01 m)

Dari keempat hasil pengukuran di atas, terlihat bahwa pengukuran yang derajat ketelitiannya paling rendah adalah 1250 cm, yaitu 0,1 m. Karena itu, keseluruhan hasil pengukuran tersebut harus di bulatkan ke 0,1m (ke persepuluhan meter terdekat.

1250 cm = 12,5 m = 12,5 m

1562 mm = 1,562 m = 1,6 m

2,963 m = 2,963 m = 30 m

<!–[if mso & !supportInlineShapes & supportFields]> SHAPE \* MERGEFORMAT <![endif]–><!–[if mso & !supportInlineShapes & supportFields]> <![endif]–>+

Jumlah = 26,8 m

Jadi hasil penjumlahan dari 1250 cm + 1562 mm + 2,963 m + 9,7 mm adalah 26,8 m.

2. Kurangkan 2567 gr dengan 1,60 kg

Jawab :

2567 gr = 2,567 kg (SUK = 0,001 kg)

1,60 kg = 1,60 kg (SUK = 0,01 kg)

Tampak bahwa derajat ketelitian yang terendah adalah 1,60 kg yaitu 0,01 kg. Maka semua harus dinyatakan (dibulatkan) sampai 0,01 kg.

2567 gr = 2,567 kg = 2,57 kg

1,60 kg = 1,60 kg = 1,60 kg

<!–[if mso & !supportInlineShapes & supportFields]> SHAPE \* MERGEFORMAT <![endif]–><!–[if mso & !supportInlineShapes & supportFields]> <![endif]–>-

Selisih = 0,97 kg

Jadi hasil pengurangan 2567 gr – 1,60 kg = 0,97 kg

= 970 gr.

a. HUKUM PERKALIAN DAN PEMBAGIAN

Hukum perkalian dua bilangan adalah sebagai berikut.

a. Kalikan atau bagilah hasil- hasil pengukuran yang ada.

b. Bulatkan hasilnya ke banyaknya angka signifikan yang sama dengan banyaknya angka signifikan terbesar dari hasil-hasil pengukuran yang ada.

Contoh ;

1. Kalikan 11,4 m × 15,6 m

Jawab :

^· 11,4 m ×15,6 m = 177,84 m²

^· 177,84 m² dibulatkan tiga angka signifikan menjadi178 m²

2. Bagilah 7800 m² dengan 654 m

Jawab :

· 7800 m² :654 m = 119,26606 m

· 119,26606 m dibulatkan ke dua angka signifikan menjadi 120 m.

Jadi 7800 m² : 654 m = 120m

Catatan :

11,4 m → 3 angka signifikan

15,6 m → 3 angka signifikan

7800 m² → 2 angka signifikan

654 m → 3 angka signifikan

LATIHAN

I.Bulatkan hasil-hasil berikut sesuai dengan keterangan pembulatan yang diminta.

NO	Hasil pengukuran	Keterangan pembulatan	Hasil pembulatan
1.	8,04766	ke 3 tempat desimal
2.	72,32447	ke 3 tempat desimal
3.	0,43021	ke 1 tempat desimal
4.	0.8970	ke 2 tempat decimal
5.	0,0045	ke 1 tempat desimal
6.	72,071	ke 3 angka signifikan
7.	23,4005	Ke 2 angka signifikan
8.	0,210	Ke1 angka signifikan
9.	2456	Ke 3 angka signifikan
10.	44590	Ke 2 angka signifikan
11.	44447	Ke 3 angka signifikan
12.	45002	Ke 1 angka signifikan
13.	40100	Ke 4 angka signifikan
14.	4,9716 m	Ke persepuluhan meter terdekat
15.	4,9716 m	Ke meter tedekat
16.	42,5001	Ke persepuluhan meter terdekat
17.	0,00416	Ke gram terdekat
18.	4508449	Ke puluhan terdekat
19.	4508449	Ke ribuan terdekat
20.	4508449	Ke puluhan ribu terdekat
21.	4508449	Ke ratusan ribu terdekat
22.	4508449	Ke jutaan terdekat
23.	496	Ke puluhan terdekat
24.	496	Ke ratusan terdekat
25.	247	Ke persepuluhan tedekat

II.Tentukanlah satuan ukuran terkecil masing-masing hasil pengukuran berikut ini.

NO	Pengukuran	Satuan ukuran terkecil (SUK)
1.	Panjang sebuah lidi 1,8 cm	…………………………cm
2.	Tinggi sebuah benda 1,96 m	………………………….m
3.	Berat lempeng baja 0,50 kg	………………………….kg
4.	Volume sebuah tempat minyak 2,51	………………………….l
5.	Luas areal pemukiman baru 50 ha	………………………….ha
6.	Panjang sebuah kawat 600 m	…………………………..m
7.	Hasil penimbangan beras 2500 kg	………………………….kg
8.	Jari-jari sebuah planet 63000 km	………………………….km
9.	Kecepatan sepeda motor 30 km/jam	………………………….km/jam
10.	Waktu tempuh sebuah pesawat 8,5 jam	……………………….jam
11.	Waktu dzuhur suatu kota jam 12.04”	……………………….
12.	Luas suatu tempat praktek 50,0 m2	……………………….
13.	Suhu badan seseorang 300° K	……………………….
14.	Curah hujan suatu tempat 18,00 mm	……………………….
15.	Panjang suatu bakterin 0,000002 mm	……………………….

Catatan untuk no 11 s/d 15, tentukanlah satuannya!

III. Hitunglah Salah Mutlak(SM), Salah Relatif(SR) dan % kesalahan dari hasil-hasil pengukuran berikut :

NO	Hasil pengukuran	SM	SR	% Kesalahan
1.	Panjang lidi 24 cm	× 1 cm = 0,5 cm	=	× 100% =….
2.	Lebar sebuah sungai adalah12 m	× ….m = …….m	….m ….m	….× 100% =………%
3.	Luas sebuah bengkel 20,5 m2
4.	Luas sebuah tambak udang 50 ha
5.	Hasil panen seorang petani/tahun5000 ton
6.	Kecepatan pesawat ruang angkasa 10.000 km/jam
7.	Panjang suatu hewan bersel satu 0,000002mm.

IV. Isilah tabel berikut ! Perhatikan contoh yang ada

NO	Penulisan hasil	Pengukuran terbesar	Pengukuran terkecil	Toleransi
1.	(11 ± 0,2 m)	11,2 m	10,8 m	0,4 cm
2.	(10 + 0,4)cm	10,4 cm	……..	0,8 cm
3.	(8 ± 0,1) liter	……..liter	7,9 liter	……liter
4.	(4,2 ± 0,02) gr	……..gr	……gr	…….gr
5.	(4,01 ± 0,003)kg	……..kg	……kg	…….kg
6.	(56,32 ± 0,03)dm3	…….cm2	……cm2	……cm2
7.	(460 ± 40)dm3	…….dm2	…….dm2	…..dm2
8.	(7400 ± 3) kwt	……..kwt	…….kwt	……kwt
9.	(0,42 ± 0,005)µ	……..µ	…….µ	…….µ
10.	(64000 ± 200) liter	…….liter	…….liter	…….liter

V. Hitunhlah batas-batas keliling dari bangun-bangun berikut :

1. Persegi panjang dengan ukuran 9 cm × 6 cm

Jawab :

Batas atas keliling = 2 × [(9 + 0,5) cm + (6 + …) cm]

= 2 × ( 9,5 cm + …cm )

= 2 × …cm

= ……..cm

Batas bawah keliling = 2 × [(9- …) cm + (6 – 0,5) cm]

= 2 × ( … cm + 5,5 cm )

= 2 × … cm

= ………cm

<!–[if mso & !supportInlineShapes & supportFields]> SHAPE \* MERGEFORMAT <![endif]–>

Jawab : Batas atas keliling = 2 × [(9 + 0,5) cm + (6 + …) cm] = 2 × ( 9,5 cm + …cm ) = 2 × …cm = ……..cm Batas bawah keliling = 2 × [(9- …) cm + (6 – 0,5) cm] = 2 × ( … cm + 5,5 cm ) = 2 × … cm = ………cm

<!–[if mso & !supportInlineShapes & supportFields]> <![endif]–>